稱重信號的抽樣和處理

 中國計量科學研究院 周祖濂

【摘 要】本文主要根據數字信號處理原理，介紹抽樣定理，不確定性原理、在動態稱
重信號處理中的重要性和不可違背性。
【關鍵字】抽樣定理、不確定性原理、動態稱重、空間頻率

一、前言
     不少初接觸稱重儀表的人，找我詢問稱重信號應如何抽樣，特別是對動態儀表，抽樣速
率、抽樣次數應如何決定？抽樣后的數據如何處理（濾波）？《衡器》雜志也常有文章介紹
如何處理稱重信號，但大多數文章均未有介紹信號抽樣的基本原則和稱重信號中動態信號的
基本特征和常用的處理方法。
作者打算分兩篇文章介紹稱重信號的抽樣和處理的基本原則和方法。篇介紹信號抽
樣的基本原理和動態稱重信號的基本特征。第二篇介紹動態稱重信號的基本處理方法，介紹
作者收集到的一些資料中的實例，供有興趣的讀者參考。
文中盡量避免數學推導和證明。需要深入了解的讀者可自行閱讀有關數字濾波和數字信
號處理的有關資料。但讀者需具有付利葉變換（Fourier transforms）以及高等數學的基本概
念和知識。
       處理動態稱重信號，是為了求得被稱物在靜止狀態下的重量。原則上是要消除由于物體
運動所產生的干擾力，所以均是使用低通濾波器來濾除這些干擾信號，以獲得物體的靜止重
量。
二、抽樣
     抽樣是將連續信號離散化的過程，它僅抽取連續信號波形某些時刻的樣值。抽樣分為均
勻抽樣和非均勻抽樣。在大多數情況下都是均勻抽樣，本文也只討論均勻抽樣的情況。
付利葉變換在建立連續信號和離散信號間的起著重要的作用。由連續時間系統的觀
點，均勻抽樣可視為一個脈沖調制過程。調制信號為連續的模擬號，載波信號為一串固期為
T，脈寬為 τ 的矩形脈沖信號。顯然，τ 越小，抽樣輸出脈沖的幅度就越準確地反映了輸入，
即被抽樣信號在離散抽取時刻的瞬時值。當τ 趨于零時窄脈脈沖序列就變成了單位沖激函數
序列，稱為抽樣函數。我們稱這種抽樣為理想抽樣。其抽樣函數由下式表示：
∑
+∞
∞
−=-t ）（）（ nT tP δ （2-1）
函數（ nT −t ） δ 只有在t=nT 時不為零。所以它的時域表現為一串間隔為 T 的單位脈沖。
這樣的脈沖串，即抽樣函數的付利葉變換，即它的頻率為
T
fP）（ （2-2）
即幅度為
T
1 ，頻率間隔為
T
1 的一系列線狀譜線。用它來調制或抽樣一個模擬信號X（t ），
則：
  — 1 —
 
= =⋅= X tXtP??
即變為幅值為隨抽樣信號幅值變化的脈沖串。
然而，在實際情況下，抽樣信號為矩形窄脈沖串，脈沖幅值為A，脈寬為 τ，周期為 T。
這樣非理想抽樣的表示式為：
Ω
π2
=Ω ，T 為抽樣周期

式中
T
d
τ
= 稱為占空比。
此時，非理想抽樣的頻域圖形或頻譜，不再是線狀譜，而是有一定頻寬的頻譜，其主頻
的寬度為1/ τ。與理想抽樣時一樣，同樣為以 1/T 為周期的頻譜，且幅值 Cn的包絡隨頻率增
高而很緩慢下降（圖1 ）。

圖1

與模擬系統的抽樣不同，在數字系統中，抽樣信號需經過A/D 轉換為數字信號。用一
些幅度不連續的數值來逼近模擬信號的值。它與值之間的誤差就是由不連續的量化
過程產生的。通過經A/D 轉換后，模擬信號轉變為有限字長的二進制數。
由于量化是將連續量轉化為非連續量，由此必然產生誤差。對于量化的處理又有截尾和
舍入兩種方法。其截尾化誤差為 [ ] 0q-≤ < e ；舍入量化誤差為 []
   e ≤< 。其中 q 為A/D
轉換的位量化值， ，n 為A/D 轉換的階數。由于對信號的量化過程是對整個序
列的統計估計，而不是針對某一個抽樣的量化誤差。所以還必須知道量化誤差的統計值。即
量化噪聲的方均根值，
-n
2 = q
32eq = 。量化誤差的大小，對我們確定A/D 轉換器的階數，數
  — 2 —
 
字濾波器設計和計算數據所需的字長都有直接的關系。
在我們使用 DA/-Δ Σ 轉換器時，由于 Δ Σ - 調制是根據所謂的“ 增量調制” 進行量化編
碼。當輸入模擬信號變化極快，即信號的斜率變化很陡，大于譯碼用積分器輸出信號的上升
或下降的斜率，即譯碼器的跟蹤斜率。由此會產生所謂的“過載量化失真” 。設輸入一正
弦信號，頻率為f，幅值為A，抽樣頻率為f
s
. 。由于
ftAx π2sint=??
則它的變化斜率為：
ftcooAdtdx π π 22t⋅ = ??
其斜率為 Afπ2 。因此，欲使增量調制編碼時不產生失真，必須滿足下關系。
Affq
s
π2 ≥ ⋅ （2-4）
由此表明，對于變化極快的信號，即使幅度很小也會產生過載量失真。為了克服這種影
響，現今的 調制器前端增加了積分器，使得整個系統的過載特性與頻率無關。 ΔΣ-三、抽樣定理
抽樣定理是1948 年香農（Shannon）給出的，它是數字信號處理中的一個重要定理。
定理敘述如下：
設x（t）的付利葉變換為 ，且 ）（ΩΧj ）（Ω Χ j 是帶限的，其頻率為 ，即 時，
=0，如果
h
π 。這里 T 為抽樣周期，
s
Ω 為抽樣角度頻率， ）1（2T
 
其中 又稱之為“乃奎斯特” （Nygnist）頻率。
   以上定理說明兩個重要的概念：
當抽樣頻率大于或等于連續信號（ ） t x 的頻率的兩倍以上時，所得到離散信號
，已包含了 （nT X ） （ ） t x 的全部信息，根據（3-1）式就能由 （ ） nT X 將（ ） t x 恢復出來。即已知
，即可把抽樣點間的函數“補上” ，恢復為連續函數。 （nT X ）
從另一個方面看，若抽樣頻率小于奎斯特頻率，即小于被抽樣信號頻率的兩倍時，
nsf 2f< （3-1）
被抽樣信號間將發生頻譜重疊，出現“ 混疊現象” （Aliasing）這是很容易理解的。在理
想抽樣時，時域信號，變為頻率間隔為 1/T 的單位沖擊頻率。若此時被抽樣信號的頻率
為 ，則抽樣的頻率信號為以
= 為中心，頻譜寬度為
s
f ? ，頻率間隔為
1
= 的
頻域信號。因此，當 時，相鄰抽樣頻率間的將發生重疊，這些重疊部分的幅值將與
hsf 2f<
  — 3 —
 
原始情況不同，這樣的頻域信號不再可能通過逆付利葉變換恢復成原來的信號（圖2 ）。通
常也將乃奎斯特頻率稱為“折疊頻率” （Folding freqnency）。


圖2

四、不確定性原理
不確定性原理表明一個函數不可能同時在時域和頻域具有任意小的分辨。
例如在時域，我們為了使抽樣處幅值盡量逼近該處的“真值” 。抽樣脈沖的寬度就要求很
窄，才能不受模擬信號變化的影響。我們知道抽樣脈沖越窄，表明這樣的函數在時域的變化
越劇烈，因此與它相應的付利葉變換中包含的頻率分量就越廣泛。這樣它在任意頻率處的分
辨就很大，即在頻域來識別它就需要很寬的頻率范圍。這種關系可表為：
f ≥Δ⋅Δ f
a α

式中 為f 在a 處的分辨， 為f 在α 處的分辨。這實際上是物理學中“測不準原
理” 在時域和頻域中的表現。由于它是一個普遍的物理規律，針對不同的物理量，會有不同
的數學形式。我們用寬帶為 B 的濾波器，來測量一個隨抗噪聲，測量時間 T，則測量結果間
與精度間的關系為：
f

其中σ 為測量結果的標準偏差，即測量誤差；m 為被測信號的平均值。這說明為提高
測量低頻信號的精度，就必須增加測量時間。圖3 表示正弦波形經過線性和 RC低通濾波器
的波形圖。觀察此圖形可看出以下結論。首先當被濾波信號的頻率與濾波器的平均濾波時間
或下限頻率相近時，濾波的效果很差，第二只有當濾波器的濾波時間與被濾波信號的周期相
等時，才能*濾除該與之對應的周期信號（正弦信號），即是說在抽樣后的波形不是周期
的整數倍，對此期間的波形的積分平均值不為零，對欲求得直流信號，即靜態的重量信號構
成誤差。第三，在不增大抽樣時間，欲通過增加抽樣的次數來提高對干擾信號的濾除是沒有
效果的。
  — 4 —
 

圖3
五、動態稱重信號的特點
本文討論的動態稱重信號主要是包括，動態軌道衡、動態汽車衡、檢驗秤和皮帶秤的稱
重信號。這類被稱物在稱重過程中均是相對衡器的承載器有相對運動。除皮帶秤外的三種動
態衡器的稱重信號非常相近。現以動態軌道衡的稱重信號為例進行討論。
軌道的不平順是使機車車輛產生振動的主要根源。這些干擾振動構成稱重信號中附加干
擾力。只有將其濾除才有可能測得車輛的靜止重量。由于軌道不平順是隨機變化的，它所引
起的干擾振動過程也是隨機的。所以動態稱重與靜態稱重在物理機理上不同的。動態稱重信
號的處理是建立在隨機信號過程的基礎上。對其測量結果的處理應服從于數理統計和概率論
的規律。對車輛由于地面所引起的振動的描述，由于地面不平直的影響不是隨時間變化而是
距離的函數，為此采用“ 空間頻率” ，f=1/ λ（1/m）來代替頻譜分析中的時間頻率f=1/T（1/s 或
HZ）

來表示軌道不平順的干擾函數，即功率譜密度（圖 4 ）。注意此時的橫坐標不再以“秒或
HZ” 為單位，而是以“1/米或1/m” 為單位。而且在幅值相同的情況下，短“空間波長” 引起的
振動加速度比長波引起的要大得多。例如波長為1 米時引起的加速度比波長為10米時所引
起的加速度要大100 倍。干擾頻譜激勵機車的頻譜示如圖 5 ，機車的主要自振頻頻在 2HZ
左右，且隨車速增快其幅值也增大。


圖4 圖5
  — 5 —
 
由此可引入一個對這類動態稱重所*概念—“時空概念” 。因為在此種情況下，被稱物
與稱重承載器之間有相對運動。同樣一個頻率的干擾驅動，由于被稱物相對于承載器的運動
速度不同，我們需要采集這個干擾振動的時間也就不同。在經典濾波理論中，若不能完整的
采集到一個正弦波，要將其*濾除或降低它的干擾程度是不可能的，在上一節的“不確定
原理” 中已做了詳細的解讀。例如附圖 4 中，由于車輛自振產生 2HZ 的干擾頻率，對于不同
運行速度的車輛，在相同的抽樣期間T 時，車輛行駛的距離也大不相同，為了能采集所需
的干擾信號的波形，就需要有不同“長度” 的承載器。假設此時低通濾波器的截止頻率設定為
1HZ ，即B=1HZ。為了能收集到兩個以上的完整干擾波形，抽樣時間至少大于1 秒。下面
給出在1 秒內，不同速度下車輛所運行的距離。
300km/h=83.3m/s；100km/h=27.8m/s；60km/h=16.7m/s ；30km/h=8.3m/s；10km/h=2.8m/s
所以，對于高速行駛的列車，若使用經典的濾波方法來處理稱重信號，就需要有足夠長
的“稱量段” 。例如，早先德國為了測量時速為 100km 左右的車輛，其“稱量段” 的長度在11m
左右。
下面給出上世紀九十年代，德國對不同稱重長度的測量結果，車速為60km/h，空間頻
率為2.5到20m ，整個稱重長度為M=16.6m ，稱重長度是由一些中距為x Δ 的稱重段組成，
結果如圖6 所示。所以試圖用較短的承載器測定快速行駛的機車或汽車欲得到高的測量精度
是不太可能的。特別是為行車安全，測定機車的偏載，要是稱量段不夠長，很難發現1 或
2HZ 干擾帶來的影響，此時雖然產生的干擾力可能不算大，但是由此引起的干擾振幅要比
高頻率在相同干擾力下的振幅要大很多，對機車的安全可能產生危害。


圖6

六、結束語
     本文主要想提醒讀者注意，在研究工作中對事物的基本規律是不能違背的。否則不但事
倍功半，而且找不到解決問題的原因。特別是一些初參加工作的學生，往往注重技巧，而忽
視基礎知識。正如無論設計多巧妙，也不可能設計出永動機。另外對研究的對象要有深入的
了解，對運動車輛信號的特征，如頻譜圖，持續時間，盲目使用濾波器是不可取的。后指
出，對動態信號結果，在試驗時用誤差分布的直方圖來表示，這樣有利于發現問題，改
進設計。